Question

已知命題p：函數(shù)f(x)=

1-x

3

，且|f（a）|＜2；命題q：方程x²+（a+2）x+1=0不存在負實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍，使命題p∨q為真，命題p∧q為假．

Answer 1

分析：命題p∨q為真，命題p∧q為假知兩個命題一真一假，故要分為兩類求解，p真q假或p假q真，首先要將兩個命題中的條件進行化簡，再分類討論．

解答：解：∵|f（a）|＜2，∴|

1-a

3

|＜2，解得-5＜a＜7．（2分）
∵方程x²+（a+2）x+1=0不存在負實數(shù)根，分為兩類求解，一是方程無解，二是有兩個非負實根
令f（x）=x²+（a+2）x+1，則f（0）=1，
∴當無解時，△=（a+2）²-4＜0，解得-4＜a＜0；（5分）
當有兩個非負根時

△≥0 - a+2 2 ＞0

時，解得a≤-4．（7分）
∴當方程x²+（a+2）x+1=0不存在負實數(shù)根時，a的取值范圍是：a＜0．（8分）
∵命題p∨q為真，p∧q為假
∴當p真q假時，得-5＜a＜7且a≥0，即0≤a＜7；
當p假q真時，得a≤-5或a≥7，且a＜0，即a≤-5．（13分）
∴當命題p∨q為真，p∧q為假時，a的取值范圍是（-∞，-5]∪[0，7）．（14分）

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，求解本題關鍵是化兩個條件，尤其是命題q：方程x²+（a+2）x+1=0不存在負實數(shù)根這個條件的轉(zhuǎn)化，易因忘記方程無根時也滿足無負根而導致錯誤，做題是要考慮完善，轉(zhuǎn)化要注意驗證是否等價．