Question

（本題滿分14分）數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，若數(shù)列中任意不同的兩項之和仍是該數(shù)列的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”

（1）試寫出一個不是“封閉數(shù)列”的等差數(shù)列的通項公式，并說明理由；

（2）求證：數(shù)列為“封閉數(shù)列”的充分必要條件是存在整數(shù)，使。

Answer 1

解（1）如數(shù)列不是“封閉數(shù)列”，---1分

，    -------------------2分

依題，，使                --------------3分

即，            --------------4分

這與矛盾

所以數(shù)列不是封閉數(shù)列；--------------5分

法二：數(shù)列不是“封閉數(shù)列”       ---1分

對任意的，有

         -------------------2分

依題，，使  --------------3分

即

得                           -------------4分

，，而  ，矛盾

所以數(shù)列不是封閉數(shù)列； ------------5分

（只要寫出的通項公式能滿足存在整數(shù)，使，就不合）

（2）證明：（充分性）若存在整數(shù)，使，則任取等差數(shù)列的兩項，于是

  --------2分

由于為正整數(shù)，        -------------------3分

，是封閉數(shù)列                                 -- ----4分

（必要性）任取等差數(shù)列的兩項，若存在使，

則    --------------------6分

故存在，使，               --------------------7分

下面證明。

當(dāng)時，顯然成立。                                --------------------8分

對，若，則取，對不同的兩項和，存在使+＝，

即，這與矛盾，

故存在整數(shù)，使。               --------------------------9分