Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且橢圓過點(diǎn)，離心率；點(diǎn)在橢圓上，延長與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）若是坐標(biāo)原點(diǎn)，記與的面積之和為，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）依題意，根據(jù)題設(shè)條件，列出關(guān)于的方程組，求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由題意，求得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求得；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式，得出面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

（1）依題意，，則，解得，，.

故橢圓的方程為；.

（2）由分別為的中點(diǎn)，故.

故與同底等高，故，，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí).

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，

設(shè)，顯然直線不與軸重合，即，

聯(lián)立解得，

則，故，

故，

點(diǎn)到直線的距離，

所以，令，

故，

故的最大值為.