Question

以知{a_n}前項n和s_n=2a_n-1（n∈N），（1）證明{a_n}是等比數(shù)列；（2）求{a_n}通項公式；（3）求{a_n}前n項的和．

Answer 1

解：（1）∵s_n=2a_n-1，s_n-1=2a_n-1-1，（n≥2），
∴兩式相減得：s_n-s_n-1=a_n=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），
∴a_n=2a_n-1（n≥2），即，
又令n=1，得到s₁=a₁=2a₁-1，解得：a₁=1，
同理令n=2，得到a₂=2，此兩項滿足此關系，
則數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；（5分）
（2）由（1）得到{a_n}為首項是1，公比為2的等比數(shù)列，
∴通項公式為a_n=a₁q^n-1=2^n-1；
（3）由（1）得到{a_n}為首項是1，公比為2的等比數(shù)列，
則前n項和公式s_n===2ⁿ-1．
分析：（1）由已知的前n項和公式S_n，當n大于等于2時，得到S_n-1，然后兩式相減，利用遞推式S_n-S_n-1=a_n，得到a_n=2a_n-1，得到當n大于等于2時后項與前項之比為2，最后分別令n=1和2，求出a₁和a₂的值，驗證也滿足后項與前項之比為2，從而得到此數(shù)列為等比數(shù)列；
（2）由（1）得出此數(shù)列為首項是1，公比是2的等比數(shù)列，寫出其通項公式即可；
（3）同理，由（1）得出此數(shù)列為首項是1，公比是2的等比數(shù)列，寫出其求和公式即可．
點評：此題考查了等比數(shù)列的確定，等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的前n項和公式，靈活運用數(shù)列的遞推式S_n-S_n-1=a_n（n≥2）是確定等比關系的關鍵．