Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）已知a₁=1，d=2，
（i）求當(dāng)n∈N*時(shí)，的最小值；
（ii）當(dāng)n∈N*時(shí)，求證：；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a₁，使得對(duì)任意正整數(shù)n，關(guān)于m的不等式a_m≥n的最小正整數(shù)解為3n﹣2？若存在，則求a₁的取值范圍；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）（i）解：∵a₁=1，d=2，
∴，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即n=8時(shí)，上式取等號(hào)．
故的最小值是16．
（ii）證明：由（i）知S_n=n²，
當(dāng)n∈N*時(shí)，，

=
=，
∵，
∴．
（2）假設(shè)對(duì)n∈N*，關(guān)于m的不等式
a_m=a₁+（m﹣1）d≥n的最小正整數(shù)解為c_n=3n﹣2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁+（c₁﹣1）d=a₁≥1；
當(dāng)n≥2時(shí)，恒有
，
即，
從而．
當(dāng)時(shí)，對(duì)n∈N*，且n≥2時(shí)，
當(dāng)正整數(shù)m＜c_n時(shí)，有．
a₁符合題意且a₁的取值范圍是．