（2012•湖北模擬）某校高二年級共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：[0，30），[30，60），[60，90），[90，120），[120，150），[150，180），[180，210），[210.240），得到頻率分布直方圖如圖，已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的人數(shù)為5人．
（1）求n的值并求有效學(xué)習(xí)時(shí)間在[90，120）內(nèi)的頻率；
（2）如果把“學(xué)生晚上有效時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”作為是否充分利用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的n名學(xué)生，下列2×2列聯(lián)表，問：是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？
利用時(shí)間充分 利用時(shí)間不充分 合計(jì)
走讀生 50 a
75
75
住校生 b 15
25
25
合計(jì)
60
60
 40 n
（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時(shí)間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望．
參考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考列表：

P（K2≥k0）		 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025

k0		 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
分析：（1）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1，2，…，8），則由圖可知：學(xué)習(xí)時(shí)間少于60鐘的頻率為：P1+P2=，由此能夠求出n的值并求出有效學(xué)習(xí)時(shí)間在[90，120）內(nèi)的頻率．
（2）求出K2，比較K2與3.841的大小，能夠判斷是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．
（3）由題設(shè)條X的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出其概率，能夠得到X的分布列和期望．
解答：解：（1）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1，2，…，8），
則由圖可知：P1=
1
3000
×30=
1
100
，P2=
1
750
×30=
4
100
，
∴學(xué)習(xí)時(shí)間少于60鐘的頻率為：P1+P2=
5
100
，
由題n×
5
100
=5，∴n=100，…（2分）
又P3=
1
300
×30=
10
100
，P5=
1
100
×30=
30
100
，
P6=
1
200
×30=
15
100
，P7=
1
300
×30=
10
100
，
P8=
1
600
×30=
5
100
，
∴P4=1-（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）
∴P4=1-(
1
100
+
4
100
+
10
100
+
30
100
+
15
100
+
10
100
+
5
100
)=
1
4

∴有效學(xué)習(xí)時(shí)間在[90，120）內(nèi)的頻率為
1
4
．（4分）
（2）抽取的100人中，走讀生有750×
1
10
=75人，住讀生25人，∴a=25，b=10（6分）
由于K2=
100(50×15-25×10)2
75×25×40×60
＞3.841，所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．（8分）
（3）由題意知：第①組1人，第②組4人，第⑦組10人，第⑧組5人，共20人
∴P（X=i）=
C
i
5
C
3-i
15
C
3
20
，（i=0，1，2，3），
∴P（X=0）=
C
0
5
C
3
15
C
3
20
=
91
228
，
P（X=1）=
C
1
5
C
2
15
C
3
20
=
35
76
，
P（X=2）=
C
2
5
C
1
15
C
3
20
=
5
38
，
P（X=3）=
C
3
5
C
0
15
C
3
20
=
1
114
，（10分）
∴X的分布列為：
X 0 1 2 3
P
91
228
35
76
5
38
1
114
EX=0×
91
228
+1×
35
76
+2×
5
38
+3×
1
114
=
3
4
．
點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意排列組合和概率知識的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上有一個頂點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)之間的距離分別為3+2
2
，3-2
2
．
（1）求橢圓的方程；
（2）如果直線x=t（t∈R）與橢圓相交于A，B，若C（-3，0），D（3，0），證明直線CA與直線BD的交點(diǎn)K必在一條確定的雙曲線上；
（3）過點(diǎn)Q（1，0）作直線l（與x軸不垂直）與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)R，若
RM
=λ
MQ
，
RN
=μ
NQ
，證明：λ+μ為定值．

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（2012•湖北模擬）在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3，點(diǎn)P在AM上，且滿足
AP
=2
PM
，則
PA
•(
PB
+
PC
)的值為（　�。�

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（2012•湖北模擬）已知函數(shù)y=g（x）的圖象由f（x）=sin2x的圖象向右平移φ（0＜φ＜π）個單位得到，這兩個函數(shù)的部分圖象如圖所示，則φ=
π
3
π
3
．

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（2012•湖北模擬）設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則公比q等于
1
3
1
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）函數(shù)f（x）=aex，g（x）=lnx-lna，其中a為正常數(shù)，且函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象在其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)處的切線互相平行．
（1）求a的值；
（2）若存在x使不等式
x-m
f(x)
＞
x
成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域中的任意實(shí)數(shù)x0，我們把|f（x0）-g（x0）|的值稱為兩函數(shù)在x0處的偏差．求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2．

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