已知α,β是關(guān)于x的二次方程2x2-tx-2=0的兩個(gè)根,且α<β,若函數(shù)f(x)=
4x-t
x2+1

(1)求
f(α)-f(β)
α-β
的值;
(2)對(duì)任意x1,x2∈(α,β),求證:|f(x1)-f(x2)|<2|α-β|.
分析:(1)利用韋達(dá)定理,直接代入計(jì)算,可得結(jié)論;
(2)先證明函數(shù)在(α,β)上單調(diào)遞增,再利用(1)的結(jié)論,即可得到結(jié)論.
解答:(1)解:由題意,α+β=
t
2
,αβ=-1,則t=2α+2β
f(α)-f(β)
α-β
=
4α-t
α2+1
-
4β-t
β2+1
α-β
=2(
1
α2+1
+
1
β2+1
)
=2×
α2+β2+2
(αβ)2+(α2+β2)+1
=2×
α2+β2+2
1+(α2+β2)+1
=2×
α2+β2+2
α2+β2+2
=2;
(2)證明:求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=
-4x2+2tx+4
(x2+1)2

∵x∈(α,β),∴2x2-tx-2<0,
∴-4x2+2tx+4>0,∴f′(x)>0
∴f(x)在(α,β)上單調(diào)遞增
∴|f(x1)-f(x2)|<f(β)-f(α)
由(1)知,f(β)-f(α)=2(β-α)
∴|f(x1)-f(x2)|<2|α-β|.
點(diǎn)評(píng):本題考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查不等式的證明,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知sinα,cosα是關(guān)于x的一元二次方程x2-
2
3
x+a=0
的兩根,其中α∈[0,π]
(1)求α的值.
(2)求cos(α+
π
4
)
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2-ax+a2-a+
1
4
=0的兩個(gè)實(shí)根,那么
x1x2
x1+x2
的最小值為
0
0
,最大值為
1
4
1
4

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已知tanα,
1
tanα
是關(guān)于x的方程x2-
5
k
x+k2-3=0
的兩個(gè)實(shí)根,且3π<α<
7
2
π
,cosα+sinα=
-
3
5
5
-
3
5
5

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已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2-ax+a2-a+
1
4
=0
的兩個(gè)實(shí)根,那么
x1x2
x1+x2
的最小值為
0
0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知sinα,cosα是關(guān)于x的二次方程4x2+2mx+m=0的兩個(gè)根,則m的值為
1-
5
1-
5

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