【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（3）在第（2）問(wèn)的條件下，求面積的最大值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：

(1)由題意求得,則橢圓方程為.

(2)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，整理可得 ，則的取值范圍為.

(3)面積公式： ，求導(dǎo)討論可得面積的最大值為.

試題解析：（1）點(diǎn)在且橢圓上， ，

， ，

， ， 橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，

代入，整理得.

直線過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)， 方程有兩個(gè)不等實(shí)根.

記， 中點(diǎn)，

則， ， ，

垂直平分線的方程為.

令，得 .

， . 的取值范圍為.

（3），

而，

由，可得.

所以.

又，所以.

所以的面積為.

設(shè)，則.

可知在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.

所以，當(dāng)時(shí)， 有最大值.

所以，當(dāng)時(shí)， 的面積有最大值.

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（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若，求的取值范圍．

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