Question

（本小題滿分13分）已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足，，其中，則稱為的“衍生數(shù)列”.

（Ⅰ）若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是，求；

（Ⅱ）若為偶數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，證明：的“衍生數(shù)列”是；

（Ⅲ）若為奇數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，的“衍生數(shù)列”是，….依次將數(shù)列，，，…的第項取出，構(gòu)成數(shù)列.證明：是等差數(shù)列.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：.                  ………………3分

（Ⅱ）證法一：

證明：由已知，，.

因此，猜想.                          ………………4分

① 當時，，猜想成立；

② 假設時，.

當時，

故當時猜想也成立.

由 ①、② 可知，對于任意正整數(shù)，有. ………………7分

設數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，則由以上結(jié)論可知

，其中.

由于為偶數(shù)，所以，

所以 ，其中.

因此，數(shù)列即是數(shù)列.                                 ………………9分

證法二：

因為 ，

，

，

……

，

由于為偶數(shù)，將上述個等式中的第這個式子都乘以，相加得

      即，.                                     ………………7分

由于，，

根據(jù)“衍生數(shù)列”的定義知，數(shù)列是的“衍生數(shù)列”.     ………………9分

（Ⅲ）證法一：

證明：設數(shù)列,,中后者是前者的“衍生數(shù)列”.欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列，即只要證明即可.   ……10分

由（Ⅱ）中結(jié)論可知 ，

，

所以，，即成等差數(shù)列，

所以是等差數(shù)列.                                        ………………13分

證法二：

因為 ，

所以 .

所以欲證成等差數(shù)列，只需證明成等差數(shù)列即可.        ………………10分

對于數(shù)列及其“衍生數(shù)列”，

因為 ，

，

，

……

，

由于為奇數(shù)，將上述個等式中的第這個式子都乘以，

相加得

      即.

設數(shù)列的“衍生數(shù)列”為，

因為 ，，

所以 ， 即成等差數(shù)列.                                   

同理可證，也成等差數(shù)列.

即 是等差數(shù)列.

所以 成等差數(shù)列.                                      ………………13分

【解析】略