Question

等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，a₁+a₂+a₃=7，a₅-a₂=14，n∈N^*．
（1）求a_n；
（2）求數(shù)列{log₂a_n}的前10項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出等比數(shù)列的公比為q，代入a₁+a₂+a₃=7，a₅-a₂=14，，得到關(guān)于首項(xiàng)與公比的二元一次方程組，求出方程組的解即可得到首項(xiàng)和公比的值，根據(jù)首項(xiàng)和公比寫出相應(yīng)的通項(xiàng)公式即可；
（2）把（1）求得的結(jié)果代入log₂a_n中，得到log₂a_n=n-1，可知數(shù)列{log₂a_n}是一個等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n相和公式即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)公比為q，顯然q＞0且q≠1
由a₁+a₂+a₃=7得a₁（1+q+q²）①
由a₅-a₂=14得a₁q（q³-1）=14②
②÷①得q（q-1）=2得q=2或q=-1（舍）
∴a₁=1，故a_n=2^n-1
（2）∵a_n=2^n-1，∴l(xiāng)og₂a_n=n-1，
∴數(shù)列{log₂a_n}是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴S10=

10(0+9)

2

=45

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式化簡求值，其中根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則求得數(shù)列{log₂a_n}是一個等差數(shù)列，是解題的關(guān)鍵，屬道基礎(chǔ)題．