Question

已知關(guān)于x的方程2sin(x+

π

3

)+a=0在區(qū)間[0，2π]有且只有兩個不同的實(shí)根．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）求這兩個實(shí)根的和．

Answer 1

分析：（1）先將方程有且只有兩個不同的實(shí)根問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=sin（x+

π

3

） x∈[0，2π]與函數(shù)y=-

a

2

有且只有兩個不同的交點(diǎn)的問題，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得a的范圍；（2）利用函數(shù)圖象的對稱性即可利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式計算這兩個實(shí)根的和

解答：解：（1）關(guān)于x的方程2sin(x+

π

3

)+a=0在區(qū)間[0，2π]有且只有兩個不同的實(shí)根，即sin（x+

π

3

）=-

a

2

在區(qū)間[0，2π]有且只有兩個不同的實(shí)根，
即函數(shù)y=sin（x+

π

3

） x∈[0，2π]與函數(shù)y=-

a

2

有且只有兩個不同的交點(diǎn)，
函數(shù)y=sin（x+

π

3

） x∈[0，2π]的圖象如圖：數(shù)形結(jié)合可得：

3

2

＜-

a

2

＜1或-1＜-

a

2

＜

3

2

解得-2＜a＜-

3

或-

3

＜a＜2即所求
（2）由圖象可知兩交點(diǎn)關(guān)于x=

π

6

或x=

7π

6

對稱
∴這兩個實(shí)根的和為2×

π

6

=

π

3

或2×

7π

6

=

7π

3

∴這兩個實(shí)根的和為

π

3

或

7π

3

點(diǎn)評：本題主要考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)圖象交點(diǎn)問題間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的畫法，數(shù)形結(jié)合解決交點(diǎn)問題的思想方法