Question

3．若函數(shù)f（x）=ax³-x²+bx（a，b∈R）．當x=3時，f（x）有極小值-9．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f'（x）+（6m-8）x+4，h（x）=mx，當m＞0時，對于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一個是正數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導數(shù)，得到方程組，求出a，b，從而求出函數(shù)表達式；
（2）求出g（x）的表達式，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別對函數(shù)g（x）和h（x）的值進行討論，建立條件關系即可得到結論圍；

解答 解：（1）由f′（x）=3ax²-2x+b，因為函數(shù)在x=3時有極小值-9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{27a-6+b=0}\\{27a-9+3b=-9}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
所求的f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-3x，
（2）由f′（x）=x²-2x-3，故g（x）=x²-2x+（6m-8）x+1，
當m＞0時，
①若x＞0，則h（x）=mx＞0，滿足條件；
②若x=0，則g（0）=1＞0，滿足條件；
③若x＜0，h（x）＜0，只需g（x）＞0恒成立，
6m-8＜-$\frac{1}{x}$-x+2恒成立，
∵-$\frac{1}{x}$-x+2≥4，當且僅當x=-1取等號，
所以6m-8＜4，0＜m＜2，
即m的取值范圍是（0，2）；

點評 本題考查了導數(shù)與極值得轉換關系，函數(shù)的值域，考查了轉化思想，分類討論，屬于中檔題