Question

在數(shù)1與100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這（n+2）個(gè)數(shù)的乘積記作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記bn=

an

2n

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為{c_n}，則c₁=1，cn+2=qn+1=100，由此利用等比數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式能推導(dǎo)出這n+2個(gè)數(shù)的乘積T_n=10ⁿ⁺²，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（II）由a_n=n+2，得到bn=

an

2n

=

n+2

2n

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出S_n．

解答：解：（I）∵在數(shù)1和100之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，
∴設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為{c_n}，則c₁=1，cn+2=qn+1=100，
又∵這n+2個(gè)數(shù)的乘積計(jì)作T_n，
∴T_n=q•q²•q³×…×qⁿ⁺¹
=q^1+2+3+…+n•qⁿ⁺¹
=q

n

2

(n+1)×100
=100 

n

2

×100
=10ⁿ⁺²，
又∵a_n=lgT_n，
∴a_n=lg10ⁿ⁺²=n+2，n∈N^*．
（II）∵a_n=n+2，
∴bn=

an

2n

=

n+2

2n

，
∴S_n=

3

2

+

4

22

+

5

23

+…+

n+1

2n-1

+

n+2

2n

，①

1

2

Sn=

3

22

+

4

23

+

5

24

+…+

n+2

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

3

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+2

2n+1

=1+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n+2

2n+1

=2-

1

2n

-

n+2

2n+1

，
∴S_n=4-

n+4

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．