Question

如圖，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓x²+y²=4x的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且斜率為2，直線l交拋物線與圓依次為A、B、C、D四點(diǎn)．

（1）求拋物線的方程．
（2）求|AB|+|CD|的值．

Answer 1

解：（1）由圓的方程x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4可知，圓心為F（2，0），
半徑為2，又由拋物線焦點(diǎn)為已知圓的圓心，得到拋物線焦點(diǎn)為F（2，0），
拋物線方程為y²=8x．
（2）|AB|+|CD|=|AD|-|BC|
∵|BC|為已知圓的直徑，∴|BC|=4，則|AB|+|CD|=|AD|-4．
設(shè)A（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），
∵|AD|=|AF|+|FD|，而A、D在拋物線上，
由已知可知，直線l方程為y=2（x-2），
由消去y，得x²-6x+4=0，
∴x₁+x₂=6．∴|AD|=6+4=10，
因此，|AB|+|CD|=10-4=6．
分析：（1）拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圓x²+y²=4x的圓心是拋物線的焦點(diǎn)，故先求咄圓心，再求拋物線的方程即可；
（2）由圖形可以看出|AB|+|CD|等于弦長(zhǎng)AD減去圓的直徑，圓的直徑易得，弦長(zhǎng)AD可由拋物線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為求兩端點(diǎn)A，D到拋物線準(zhǔn)線的距離的和，由此求出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，再求弦長(zhǎng)AD
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義與性質(zhì)，通過(guò)這些將求弦長(zhǎng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到線的距離問(wèn)題，此轉(zhuǎn)化有一個(gè)標(biāo)志即直線是過(guò)焦點(diǎn)的．本題運(yùn)算量大，極易因?yàn)檫\(yùn)算出錯(cuò)．