Question

將（如圖甲）直角梯形ABEF（圖中數(shù)字表示對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度）沿直線CD折成直二面角，連接部分線段后圍成一個(gè)空間幾何體，如圖乙所示．
（1）求異面直線BD與EF所成角的大��；
（2）求二面角D-BF-E的大�。�
（3）若F、A、B、C、D這五個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)球面上，求該球的表面積．

Answer 1

分析：先建立空間直角坐標(biāo)系（1）求出兩條異面直線的方向向量的夾角，進(jìn)而即可異面直線的夾角；
（2）先求出兩個(gè)平面的法向量的夾角，進(jìn)而即可求出二面角的大小；
（3）取BF的中點(diǎn)H，可證明H點(diǎn)即為球心，進(jìn)而可計(jì)算出表面積．

解答：解：∵平面ABCD⊥平面DCEF，ABCD為正方形，DCEF為直角梯形，
∴分別以DA、DC、DF所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，2）．
（1）∵

DB

=（1，1，0），

EF

=（0，-1，1），∴cos＜

DB

，

EF

＞=

DB • EF

| DB |•| EF |

=-

1

2

，∴＜

DB

，

EF

＞=

2π

3

，
∴異面直線BD與EF所成的角為

π

3

．
（2）∵AC⊥BD，AC⊥DF，∴AC⊥平面BDF，
∴平面BDF的法向量為

k

=

AC

=（-1，1，0），
又設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為

n

=（1，y，z），而

BE

=（-1，0，1），

EF

=（0，-1，1）．
則由

n • BE =0 n • EF =0

⇒

-1+z=0 -y+z=0

，
得y=z=1．∴

n

=（1，1，1）．
∵cos＜

k

，

n

＞=

k • n

| DB |•| n |

=

0

2 • 3

=0
∴二面角D-BF-E的大小為90°．
（3）設(shè)對(duì)角線AC與BD相較于點(diǎn)G，取BF的中點(diǎn)H，連接GH，DH，由直角三角形BDF、ABF、BCF，則HD=HF=HB=HA=HC，
∴H即為球心，且HD=

1

2

22+( 2 )2

=

6

2

．
∴S_球=4π(

6

2

)2=6π．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用兩條異面直線的方向向量的夾角求異面直線的夾角、利用兩個(gè)平面的法向量的夾角求二面角及正確找出球心是解題的關(guān)鍵．