Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1  (a＞b＞0)與拋物線E：y²=4x有一個公共的焦點(diǎn)F，且兩曲線在第一象限的交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

2

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx與拋物線E的交點(diǎn)為O，Q，與橢圓c的交點(diǎn)為M，N（N在線段OQ上），且|MO|=|NQ|． 問滿足條件的直線l有幾條，說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)P在橢圓C上，求得a的值，根據(jù)c=1，b=

a2-c2

，即可求得橢圓C的方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，可求M的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線，可求Q的坐標(biāo)，根據(jù)|MO|=|NQ|，可得N為線段OQ的中點(diǎn)，從而可建立方程，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵拋物線E：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±1，0）．
由點(diǎn)P在拋物線y²=4x上，所以P（

2

3

，

2 6

3

）．
又點(diǎn)P在橢圓C上，所以2a=4，所以a=2，
又c=1，故b=

a2-c2

=

3

，從而橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1     （5分）
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，消去y可得3x²+4k²x²=12，∴x=±2

3 3+4k2

．（7分）
聯(lián)立直線與拋物線得

y=kx y2=4x

，消去y可得k²x²=4x，解得x=0或x=

4

k2

        （9分）
∵|MO|=|NQ|，∴N為線段OQ的中點(diǎn)，∴4

3 3+4k2

=

4

k2

，
化簡得3k⁴-4k²-3=0，解得k²=

2+ 13

3

（負(fù)值舍去），故滿足題意的k值有2個．
從而存在過原點(diǎn)O的兩條直線l滿足題意．（12分）

點(diǎn)評：本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．