Question

從物體的前面向后面投射所得的視圖稱主視圖，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱俯視圖、從物體的左面向右面投射所得的視圖稱左視圖
已知一四棱錐P-ABCD的三視圖如下，E是側(cè)棱PC上的動點．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）不論點E在何位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）若E點為PC的中點，求二面角D-AE-B的大小．

Answer 1

分析：（I）由三視圖知PC⊥面ABCD，即高PC=2，且底面為正方形，邊長為1，利用錐體體積公式計算即可．
（II）由于PC⊥BD，且BD⊥AC，所以不論點E在何位置，都有BD⊥面ACE，從而都有BD⊥AE．
 （III）法一，連接AC，交BD于O．由對稱性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，利用射影面積法求出二面角O-AE-B的平面角后，問題獲解
法二，以C為坐標(biāo)原點，CD所在直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面ADE和平面ABE的法向量，利用向量的方法求出二面角D-AE-B的大小．

解答：解：（I）由三視圖知PC⊥面ABCD，
ABCD為正方形，
且PC=2，AB=BC=1（2分）
∴V_P-ABCD=

1

3

•S_ABCD×PC=

1

3

•1²•2=

2

3

  （1分）
（II）∵PC⊥面ABCD，BD?面ABCD
∴PC⊥BD …（1分）
而BD⊥AC，AC∩AE=A，
∴BD⊥面ACE，…（1分）
而AE?面ACE
∴BD⊥AE  （1分）
（III）法一：連接AC，交BD于O．由對稱性，二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍，設(shè)θ為二面角O-AE-B的平面角． 
注意到B在面ACE上的射影為O
S△_AOE=

1

2

 S△_ACE=

1

2

×

1

2

×

2

=

2

4

．
S△_ABE=

1

2

AB•BE=

1

2

•1•

12+12

=

2

2

，（2分）
∴cosθ=

S△AOE

S△ABE

=

1

2

∴θ=60°
∴二面角D-AE-B是120°（2分）
法二：以C為坐標(biāo)原點，CD所在直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系
則D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），
從而

DE

=（-1，0，1），

DA

=（0，1，0），

BA

=（1，0，0），

BE

=（0，-1，1）（2分）
設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為

n1

=（x₁，y₁，z₁），

n2

=（x₂，y₂，z₂）
則-x₁+z₁=0，y₁=0
x₂=0，-y₂+z₂=0
令z₁=1，z₂=-1，則

n1

=（ （1，0，1），

n2

=（0，-1，-1）（2分）
設(shè)二面角D-AE-B的平面角為θ，則|cosθ|=

| n1 •  n2  |

| n1 | ×| n2|

=

1

2 × 2

=

1

2

．
二面角D-AE-B為鈍二面角．∴二面角D-AE-B的大小為

2π

3

．（2分）

點評：本題考查幾何體的三視圖及直觀圖，線面垂直關(guān)系的判定，二面角的大小度量．考查考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．