【題目】在銳角△ABC中,a、b、c分別為∠A、∠B、∠C所對的邊,且 a=2csinA.
(1)確定∠C的大。
(2)若c= ,求△ABC周長的取值范圍.

【答案】
(1)解:由 a=2csinA變形得: =

又正弦定理得: = ,

=

∵sinA≠0,∴sinC=

∵△ABC是銳角三角形,

∴∠C=


(2)解:∵c= ,sinC= ,

∴由正弦定理得: = =2,

即a=2sinA,b=2sinB,又A+B=π﹣C= ,即B= ﹣A,

∴a+b+c=2(sinA+sinB)+

=2[sinA+sin( ﹣A)]+

=2(sinA+sin cosA﹣cos sinA)+

=3sinA+ cosA+

=2 (sinAcos +cosAsin )+

=2 sin(A+ )+

∵△ABC是銳角三角形,

<∠A<

<sin(A+ )≤1,

則△ABC周長的取值范圍是(3+ ,3 ]


【解析】(1)把已知的等式變形為: = ,并利用正弦定理化簡,根據(jù)sinA不為0,可得出sinC的值,由三角形為銳角三角形,得出C為銳角,利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù);(2)由c及sinC的值,利用正弦定理列出關(guān)系式,得到a=2sinA,b=2sinB,表示出三角形的周長,將表示出a,b及c的值代入,由C的度數(shù),求出A+B的度數(shù),用A表示出B,把B也代入表示出的周長,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值整理后,提取2 再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù),根據(jù)A為銳角,得到A的范圍,進而確定出這個角的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出此時正弦函數(shù)的值域,即可確定出周長的范圍.
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義,掌握正弦定理:即可以解答此題.

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B.
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