Question

已知函數(shù)份f（x）=2^x的定義域是[0，3]，設(shè)g（x）=f（2x）-f（x-2）
（1）求g（x）的解析式及定義域；
（2）求函數(shù)g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把2x、x+2代入f（x）=2^x中，即可求得g（x）的解析式，利用復(fù)合函數(shù)定義域的求法可得

0≤2x≤3 0≤x+2≤3

，解此不等式即可求得函數(shù)的定義域；
（2）令t=2^x，則可將函數(shù) g（x）=（2^x）²-4•2^x，轉(zhuǎn)化為一個二次函數(shù)，然后根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，即可得到g（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）g（x）=f（2x）-f（x+2）=2^2x-2^x+2=（2^x）²-4•2^x，
其定義域須滿足

0≤2x≤3 0≤x+2≤3

，解得0≤x≤1，
∴g（x）=（2^x）²-4•2^x，
函數(shù)g（x）的定義域為[0，1]；
（2）∵g（x）=（2^x）²-4•2^x（0≤x≤1），
令t=2^x，
∵0≤x≤1，∴1≤t≤2，
∴有：h（t）=t²-4t=（t-2）²-4（1≤t≤2）
∴當(dāng) t∈[1，2]時，h（t）是減函數(shù)，
∴f（x）_min=h（2）=-4，f（x）_max=h（1）=-3．

點評：本題只要考查代入法求函數(shù)的解析式和復(fù)合函數(shù)的定義域，以及利用換元法求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了換元的數(shù)學(xué)方法和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，特別注意新變量的取值范圍，同時也考查了二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題，屬中檔題．