Question

如圖，△ABC中，AB=AC=1，∠A=120°，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且

AE

=m

AB

，

AF

=n

AC

，其中m，n∈（0，1），若EF，BC的中點(diǎn)分別為M，N，且m+n=1，則|

MN

|的最小值是（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  7

  7

• C、

  1

  4

• D、

  7

  14

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：首先將向量

MN

用

AB

，

AC

表示，然后求向量

MN

的平方，整理為關(guān)于n的二次函數(shù)的形式求最小值．

解答： 解：∵

MN

=

AN

-

AM

，

AM

=

1

2

(

AE

+

AF

)

AN

=

1

2

(

AB

+

AC

)，
∴

MN

=

1

2

(

AB

+

AC

-

AE

-

AF

)
=

1

2

[（1-m）

AB

+（1-n）

AC

]
∵m+n=1
∴

MN

=

1

2

[n

AB

+(1-n)

AC

]
|

MN

|2=

1

4

[n²

AB

2+2n（1-n）

AB

•

AC

+（1-n）²

AC

2]，
又

AB

•

AC

=|AB|×|AC|×cos120°=-

1

2

，
∴

MN

2=

1

4

[n2-n+n2+(1-n)2]=

1

4

（3n²-3n+1），n∈（0，1）
∴當(dāng)n=

1

2

時(shí)，3n²-3n+1有最小值為

1

16

于是|

MN

|最小值為

1

4

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有120度等腰三角形中的向量，求向量

MN

模的最小值，著重考查了平面向量數(shù)量積公式及其運(yùn)算性質(zhì)和二次函數(shù)的最值求法等知識(shí)．