Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n，n=1、2、3…求：
（1）a₂，a₃，a₄的值．
（2）數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由遞推公式賦值即可求得；
（2）利用公式可以證明數(shù)列a_n}從第二項(xiàng)起是首項(xiàng)為

1

3

，公比為

4

3

的等比數(shù)列，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n，
∴a₂=

1

3

，a₃=

1

3

（a₁+a₂）=

1

3

（1+

1

3

）=

4

9

，a₄=

1

3

（a₁+a₂+a₃）=

1

3

（1+

1

3

+

4

9

）=

16

27

，
（2）a_n+1=

1

3

S_n，①
n≥2時(shí)，a_n=

1

3

s_n-1，②
由①-②得，a_n+1=

4

3

a_n，
又a₁=1，a₂=

1

3

，

a2

a1

=

1

3

≠

4

3

，
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是首項(xiàng)為

1

3

，公比為

4

3

的等比數(shù)列，
∴a_n=

1

3

×(

4

3

)n-2=

22n-4

3n-1

（n≥2），
∴a_n=

1 n=1 22n-4 3n-1 n≥2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用遞推公式求數(shù)列的前幾項(xiàng)及利用公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．