Question

18．正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂a₆+a₃a₅=128，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． ?n∈N^*，a_na_n+1≤a_n+2
• B． ?n∈N^*，a_n+a_n+2=2a_n+1
• C． ?n∈N^*，S_n＜a_n+1
• D． ?n∈N^*，a_n+a_n+3=a_n+1+a_n+2

Answer 1

分析 根據(jù)題意先求出q，求出通項(xiàng)公式，再分別判斷即可．

解答 解：設(shè)公比為q，正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂a₆+a₃a₅=128，
∴q⁶+q⁶=128，
∴q⁶=64=2⁶，解得q=2，
∴a_n=2^n-1，
∴a_n+1=2ⁿ，a_n+2=2ⁿ⁺¹，
若a_na_n+1≤a_n+2，
∴2^2n-1≤2ⁿ⁺¹，
∴2n-1≤n+1，
解得n≤2，故A不正確，
若a_n+a_n+2=2a_n+1，
∴2^n-1+2ⁿ⁺¹=2•2ⁿ，
則1+4=2×2，
顯然不成立，故B不正確，
∵S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
若S_n＜a_n+1，
∴2ⁿ-1＜2ⁿ，恒成立，故C正確，
∵a_n+3=2ⁿ⁺²，
若a_n+a_n+3=a_n+1+a_n+2，
∴2^n-1+2ⁿ⁺²=2ⁿ+2ⁿ⁺¹，
即1+8=2+4，
顯然不成立，故D不正確，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．