Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ACB₁與底面ABCD垂直，B₁A、B₁B、B₁C與底面ABCD的夾角均為45°，AD∥BC，且AB=BC=2，AD=1
（1）求異面直線BB₁與CD所成角的余弦值；
（2）求直線AC與平面AB₁B所成角的余弦值；
（3）求三棱錐D₁-ACB₁的體積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)條件作B₁E⊥底面ABCD，得到E是AC的中點；建立如圖所示的空間直角坐標系，得到各對應點的坐標，進而求出兩直線所在向量的坐標，再代入向量的夾角計算公式即可．
（2）先求出平面的法向量，再根據(jù)利用向量求線面角的方法一步步進行即可；
（3）先根據(jù)條件求出D₁到平面ACB₁的距離，再代入體積計算公式即可．

解答：解（1）：因為四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ACB₁與底面ABCD垂直，B₁A、B₁B、B₁C與底面ABCD的夾角均為45°，AD∥BC，且AB=BC=2，AD=1；
所以：作B₁E⊥底面ABCD，此時E是AC的中點；
AE=BE=CE；∴∠ABC=90°．
∴△ABC為等腰直角三角形．AC=2

2

，CE=AE=

2

=B₁E．
∵AD∥BC；
∴底面ABCD為直角梯形．

過點E分別作AD，AB的平行線，并分別以其為X軸，Y軸，以B₁E所在的直線為Z軸．
則在下底面內B（1，-1，0），C（1，1，0），E（0，0，0），A（-1，-1，0），D（-1，0，0）；B₁（0，0，

2

）．D₁（-2，1，

2

）．
∴

BB 1

=（-1，1，

2

），

CD

=（-2，-1，0）；

AC

=（-2，-2，0），

AB

=（2，0，0）．
∴cos＜

BB 1

，

CD

＞=

BB 1 • CD

| BB 1 |•| CD |

=

2-1

2× 5

=

5

10

．
（2）設平面AB₁B的一個法向量

n

=（x，y，z）
因為

AB

=(2，0，0)，

AB1

=（1，1，

2

）．
則

n • AB =0 n • AB 1 =0

⇒

2x=0 x+y+ 2 z=0

⇒

n

=（0，-

2

，1）．
∴cos＜

AC

，

n

＞=cosθ=

AC • n

| AC |•| n |

=

-2 2

2 2 × 3

=-

3

3

．
∴直線AC與平面AB₁B所成角的余弦值cos（

π

2

-θ）=sinθ=

1-cos 2θ

=

6

3

．
（3）由第一問得

D 1A

=（1，-2，-

2

）．
設平面ACB₁的一個法向量

e

=（a，b，c）
則

e •  AC =0 e • AB 1 =0

⇒

a+b=0 a+b+ 2 c=0

⇒

e

=（1，-1，0）
∴D₁到平面ACB₁的距離d=

|cos＜ D 1A ， e ＞|

| e |

=

1+2

2

=

3 2

2

．
又S△ACB1=

1

2

AB₁•B₁C=

1

2

×2×2=2．
故三棱錐D₁-ACB₁的體積v=

1

3

S△ACB1．d=

1

3

×2×

3 2

2

=

2

．

點評：本題是道難題．它的難點在于不是直棱柱，空間直角坐標系的建立比較麻煩，本題適合程度較高的學生來做．