Question

如圖，已知正方體AC₁棱長為2，E、F、G分別是CC₁、BC和CD的中點．
（1）證明：A₁G⊥面EFD；
（2）求二面角E-DF-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以D為原點建立如圖空間直角坐標系，利用向量法能證明A₁G⊥面EFD．
（2）分別求出面EFD的法向量和面CFD的法向量，由此利用向量法能求出二面角E-DF-C的余弦值．

解答： （本小題滿分14分）
（1）證明：以D為原點建立如圖空間直角坐標系，
∵正方體棱長為2，
∴D（0，0，0）、E（0，2，1）、F（1，2，0）、
G（0，1，0）、A₁ （2，0，2）、C（0，2，0），…（2分）
則

A1G

=(-2，1，-2)，

DE

=(0，2，1)，

DF

=(1，2，0)…（3分）
∵

A1G

•

DE

=(-2，1，-2)•（0，2，1）=0，
∴

A1G

⊥

DE

…（4分）
∵

A1G

•

DF

=(-2，1，-2)•（1，2，0）=0，
∴

A1G

⊥

DF

…（5分）
又DE∩DF=D，DE?面DEF，DF?面DEF…（6分）
∴A₁G⊥面EFD…（7分）
（2）解：由（1）知

A1G

=(-2，1，-2)為面EFD的法向量，…（8分）
∵CE⊥面CFD，

CE

=(0，0，1)為面CFD的法向量，…（9分）
設(shè)

A1G

與

CE

夾角為θ，則cosθ=

A1G • CE

| A1G |•| CE |

=

-2

3•1

=-

2

3

…（12分）
由圖可知二面角E-DF-C的平面角為π-θ，
∴二面角E-DF-C的余弦值為

2

3

．…（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．