已知△ABC三個(gè)內(nèi)角滿足A、B、C成等差，設(shè)x=cos
A-C
2
，f（x）=cosB(
1
cosA
+
1
cosC
)．
（1）求f（x）解析式及定義域；
（2）討論函數(shù)單調(diào)性，并證明；
（3）求f（x）值域．
分析：（1）先確定B，再借助于x=cos
A-C
2
，f（x）=cosB(
1
cosA
+
1
cosC
)．化簡(jiǎn)可得．
（2）根據(jù)定義域，利用導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，可知函數(shù)的單調(diào)性
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的定義域，可確定函數(shù)的值域．
解答：解：（1）由題意，∵A、B、C成等差
∴2B=A+C
∴3B=180°
∴B=60°
∴f（x）=cosB(
1
cosA
+
1
cosC
)=
1
2
× 
cosA+cosC
cosAcosC
．
∵x=cos
A-C
2
，
∴f(x)=
2x
4x2-3
，(
1
2
＜x＜
3
2
，
3
2
＜x≤1)
（2）f/(x)=
-8x2-6
(4x2-3)2
＜0，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(
1
2
，
3
2
)，(
3
2
，1]
（3）由（2）知，f(
1
2
)=-
1
2
，f(1)=2，
∴f（x）值域?yàn)?span id="k9bqges" class="MathJye">(-∞，-
1
2
)∪[2，+∞)．
點(diǎn)評(píng)：本題以三角形為載體，考查三角函數(shù)，涉及三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的值域，有一定的綜合性．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，向量．
m
=(cos
A
2
，sin
A
2
)  ，
n
=(cos
A
2
，-sin
A
2
)，且
m
與
n
的夾角為
π
3

（1）求A；
（2）已知a=
7
2
，求bc的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，
3
b=2a•sinB，且
AB
•
AC
＞0．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）若cos(A-C)+cosB=
3
2
，a=6，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，
AB
•
AC
=6，向量
s
=(cosA，sinA)與向量
t
=(4，-3)相互垂直．
（Ⅰ）求△ABC的面積；
（Ⅱ）若b+c=7，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為 a、b、c，向量 
 m
=（cos
C
2
，sin
C
2
），
n
=（cos
C
2
，-sin
C
2
），且
m
與
n
的夾角為
π
3
．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）已知c=3，△ABC的面積S=
4
3
3
，求a+b的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊為a、b、c，
m
=(a，cosB)，
n
=(cosA，-b)，a≠b，已知
m
⊥
n
．
（1）判斷三角形的形狀，并說(shuō)明理由．
（2）若y=
sinA+sinB
sinAsinB
，試確定實(shí)數(shù)y的取值范圍．

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