在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，，，．

(1)求證：BC平面PBD：
(2)求直線AP與平面PDB所成角的正弦值；
(3)設E為側(cè)棱PC上異于端點的一點，，試確定的值，使得二面角E－BD－P的余弦值為．

（1）參考解析；（2）;（3）

解析試題分析：（1）由PDCD，底面ABCD是直角梯形，如圖建立空間直角坐標系，，，寫出點D,B,C,P,的坐標，分別寫出相應的向量，即可得向量BD與向量CB的數(shù)量積為零，向量PD與向量BC的數(shù)量積為零.由向量關系轉(zhuǎn)化為空間線面中位置關系，即可得到結論.
（2）要求直線AP與平面PDB所成角的正弦值，等價于求出平面PBD的法向量與向量AP所成的角余弦值即可.
（3）要使得二面角E－BD－P的余弦值為，關鍵是求出平面EBD的法向量，由于平面PBD的法向量已知，再通過兩法向量的夾角的絕對值等于.即可解出的值.
試題解析：（1）證明：因為側(cè)面⊥底面，⊥，

所以⊥底面，所以⊥.
又因為＝，即⊥，
以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
所以
所以，所以.
由⊥底面，可得,
又因為，所以⊥平面.
（2）由（1）知平面的一個法向量為，
所以
設直線AP與平面PDB所成角為，則
(3)因為，又，設
則
所以，.設平面的法向量為，
因為，由，，
得，令，則可得平面的一個法向量為所以，
解得或，又由題意知，故.
考點：1.空間坐標系的建立.2.線面垂直的證明.3.線面所成的角.4.面面所成的角.5.待定系數(shù)的方法.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥面ABC，AA1=a，A1C=CA=AB=a，AB⊥AC，D為AA1中點.
（1）求證：CD⊥面ABB1A1；
（2）在側(cè)棱BB1上確定一點E，使得二面角E-A1C1-A的大小為.

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如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱底面，過作垂直交于點，作垂直交于點，平面交于點，且，.

（1）設點是上任一點，試求的最小值；
（2）求證：、在以為直徑的圓上；
（3）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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如圖，已知的直徑，點、為上兩點，且，，為弧的中點．將沿直徑折起，使兩個半圓所在平面互相垂直（如圖2）．

（1）求證：；
（2）在弧上是否存在點，使得平面？若存在，試指出點的位置；若不存在，請說明理由；
（3）求二面角的正弦值.

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如圖，已知四棱錐，底面是等腰梯形，
且∥，是中點，平面，
， 是中點．

（1）證明：平面平面；
（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．

（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q—BP—C的余弦值．

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如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是線段EF的中點．

求證：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1，F(xiàn)A⊥CD.

(1)證明：在平面BCE上，一定存在過點C的直線l與直線DF平行；
(2)求二面角F­CD­A的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

三棱柱ABC－A1B1C1在如圖所示的空間直角坐標系中，已知AB＝2，AC＝4，A1A＝3.D是BC的中點．

(1)求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值；
(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值．

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