已知函數(shù)f(x)=2
x
-
1
x

(1)討論f(x)的單調性;
(2)證明當x>1時,2
x
>3-
1
x
分析:(1)已知函數(shù)f(x)=2
x
-
1
x
,注意定義域x>0,對其進行求導,判斷f′(x)與0的關系,從而進行求解;
(2)由(1)可知x>1,f(x)為增函數(shù),可得f(x)>f(1),代入即可證明;
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=2
x
-
1
x
定義域為x>0,
f′(x)=
1
x
-
1
x2
,由f′(x)<0,得0<x<1,f(x)在(0,1)上單調遞減,
由f′(x)>0,可得x>1,f(x)在(1,+∞)上單調遞增;
(2)由(1)可知,當x>1時,f(x)單調遞增,
∴f(x)>f(1)=3,可得2
x
-
1
x
>3,可得2
x
>3-
1
x
;
點評:此題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間,以及利用導數(shù)研究函數(shù)的最值問題,此題是一道基礎題;
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2-
1
x
,(x>0),若存在實數(shù)a,b(a<b),使y=f(x)的定義域為(a,b)時,值域為(ma,mb),則實數(shù)m的取值范圍是( �。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2+log0.5x(x>1),則f(x)的反函數(shù)是( �。�

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1
(1)m為何值時,函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點;
(2)如果函數(shù)的一個零點在原點,求m的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•上海)已知函數(shù)f(x)=2-|x|,無窮數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n∈N*
(1)若a1=0,求a2,a3,a4
(2)若a1>0,且a1,a2,a3成等比數(shù)列,求a1的值
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1,若不存在,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=2|x-2|-x+5,若函數(shù)f(x)的最小值為m
(Ⅰ)求實數(shù)m的值;
(Ⅱ)若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案