Question

2．已知函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$），g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$），則下列結(jié)論中正確的是（　　）

• A． 函數(shù)y=f（x）•g（x）的最小正周期為2π
• B． 函數(shù)y=f（x）•g（x）的最大值為1
• C． 函數(shù)y=f（x）•g（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間為（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}$）
• D． f（x）與g（x）的奇偶性相同

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù) y=f（x）•g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值，得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx 為偶函數(shù)，g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）=sinx為奇函數(shù)，
∴y=f（x）•g（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x，
故函數(shù)y=f（x）•g（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，它的最大值為$\frac{1}{2}$，它為奇函數(shù)，故排除A、B、D．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{4}$≤x≤kπ+$\frac{π}{4}$，故它的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z，
令k=0，可得它的一個增區(qū)間為[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，故C正確，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值，屬于中檔題．