Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AB⊥PD；
（Ⅱ）若∠BPC=90°，PB=PC=2，問(wèn)AB為何值時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積最大？并求此時(shí)直線PB與平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出AB⊥平面PAD，由此能證明AB⊥PD．
（Ⅱ）取線段AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，則PO⊥平面ABCD，取BC中點(diǎn)M，連結(jié)OM，則OM⊥AD，設(shè)AB=x，則V_P-ABCD=

1

3

×OP×SABCD=

1

3

2-x2

•x•2

2

=

2 2

3

-(x2-1)2+1

，當(dāng)且僅當(dāng)x²=1，即x=1時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積最大，此時(shí)以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線PB與平面PDC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，
∴AB⊥PD．
（Ⅱ）解：由題意得AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，
∴在Rt△PAB與Rt△PDC中，PB=PC=2，
AB=DC，∴PA=PD，∴△PAD為等腰三角形，
取線段AD的中點(diǎn)O，連結(jié)PO，則PO⊥平面ABCD，
取BC中點(diǎn)M，連結(jié)OM，則OM⊥AD，
設(shè)AB=x，則OM=AB=x，
在△BPC中，∠BPC=90°，PB=PC=2，∴BC=2

2

，
PM=

1

2

BC=

2

，
∴在Rt△POM中，PO=

2-x2

，
∴V_P-ABCD=

1

3

×OP×SABCD=

1

3

2-x2

•x•2

2

=

2 2

3

2x2-x4

=

2 2

3

-(x2-1)2+1

，
當(dāng)且僅當(dāng)x²=1，即x=1時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積最大，
此時(shí)以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則O（0，0，0），B（

2

，1，0），C（-

2

，1，0），
D（-

2

，0，0），P（0，0，1），
∴

PC

=(-

2

，1，-1)，

CD

=（0，-1，0），
設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量

n

=（x，y，z），
由

n • PC =- 2 x+y-z=0 n • CD =-y=0

，
令x=1，解得

n

=（1，0，-

2

），
又

PB

=（

2

，1，-1），
設(shè)直線PB與平面PDC所成角為θ，
sinθ=|cos＜

PB

，

n

＞|=|

2 + 2

3 × 4

|=

6

3

．
∴直線PB與平面PDC所成角的正弦值為

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面向量垂直的證明，考查四面體體積最大時(shí)線段長(zhǎng)的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．