某學(xué)生買了一本數(shù)學(xué)練習(xí)《小題狂做》,每次練習(xí)中有8道選擇題,每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)正確.評分標(biāo)準(zhǔn)是“每題僅選一個(gè)選項(xiàng),選對得5分,不選或選錯(cuò)得零分”.假設(shè)該生確定能做對前5題,第6-7題每題答對可能性均為p,第8題完全不能理解題意,只能隨意猜測,若該生做完了8道題得分不少于35分的概率是
59

(1)求p的值;
(2)該生要想每次選擇題的平均得分不少于35,是否還應(yīng)繼續(xù)努力以提高正確率?
分析:(1)利用該生做完了8道題得分不少于35分的概率是
5
9
,建立等式,即可求p的值;
(2)確定該生得分的取值,求出相應(yīng)的概率,可得數(shù)學(xué)期望,與35比較,即可得到結(jié)論.
解答:解:(1)由題意,該生確定能做對前5題得25分,其余3道題有2道題每題答對的概率是p,第8題答對的概率是
1
4

設(shè)該生做完了8道題得分不少于35分為事件M,則P(M)=
C
2
2
p2
3
4
+
C
1
2
p(1-p)•
1
4
+p2
1
4
=
5
9
,∴p=
2
3

(2)設(shè)該生得分為ξ,則ξ可取25,30,35,40
P(ξ=25)=(
1
3
)2
3
4
=
1
12
;P(ξ=30)=
C
1
2
2
3
1
3
3
4
+(
1
3
)
2
1
4
=
13
36

P(ξ=35)=
C
2
2
(
2
3
)
2
3
4
+
C
1
2
2
3
1
3
1
4
=
4
9
;P(ξ=40)=(
2
3
)
2
1
4
=
1
9

∴Eξ=25×
1
12
+30×
13
36
+35×
4
9
+40×
1
9
=
1185
36
<35
∴該生應(yīng)繼續(xù)努力以提高正確率.
點(diǎn)評:本題考查概率的計(jì)算,考查離散型隨機(jī)變量的期望,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
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