【題目】如圖,菱形ABCD中,∠ABC=60°,ACBD相交于點O,AE⊥平面ABCDCFAE,ABAE=2.

(1)求證:BD⊥平面ACFE

(2)當直線FO與平面BED所成的角為45°時,求異面直線OFBE所成的角的余弦值大小.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析:(1)由AE平面ABCD得出AEBD,由菱形性質得BD⊥AC,故BD⊥平面ACFE;

(2)以O為原點建立坐標系,設CF=a,求出和平面BDE的法向量,利用直線FO與平面BED所成角的大小為45°,可得,即可求出a的值.

試題解析:

(1)證明:四邊形ABCD是菱形,

BDAC.

AE平面ABCDBD平面ABCD,

BDAE.

ACAEA,∴BD平面ACFE.

(2)O為坐標原點,的方向為x軸,y軸正方向,過O且平行于CF的直線為z(向上為正方向),建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz,設CFa,則B(0,,0),D(0,-,0),E(1,0,2),F(-1,0,a)(a>0),=(-1,0,a).

設平面BED的法向量為n=(x,yz),

z=1,則n=(-2,0,1),

由題意得sin 45°=|cos〈n〉|=,

解得a=3a=-.

a>0,得a=3,

=(-1,0,3),=(1,-,2),

∴cos〈〉=,

故異面直線OFBE所成的角的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】某名校從年到年考入清華,北大的人數(shù)可以通過以下表格反映出來。(為了方便計算,將年編號為,年編為,以此類推……)

年份

人數(shù)

(1)將這年的數(shù)據(jù)分為人數(shù)不少于人和少于人兩組,按分層抽樣抽取年,問考入清華、北大的人數(shù)不少于20的應抽多少年?在抽取的這年里,若隨機的抽取兩年恰有一年考入清華、北大的人數(shù)不少于的概率是多少?;

(2)根據(jù)最近年的數(shù)據(jù),利用最小二乘法求出與之間的線性回歸方程,并用以預測年該?既肭迦A、北大的人數(shù)。(結果要求四舍五入至個位)

參考公式:

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【題目】在標有的袋中有個紅球和個白球,這些球除顏色外完全相同.

Ⅰ)若從袋中依次取出個球,求在第一次取到紅球的條件下,后兩次均取到白球的概率;

Ⅱ)現(xiàn)從甲袋中取出個紅球, 個白球,裝入標有的空袋.若從甲袋中任取球,乙袋中任取球,記取出的紅球的個數(shù)為,求的分布列和數(shù)學期望

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【題目】已知是奇函數(shù).

(1)求實數(shù)的值;

(2)求函數(shù)上的值域;

(3)令,求不等式的解集.

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【題目】某貧困地區(qū)截至2018年底,按照農村家庭人均年純收入8000元的小康標準,該地區(qū)僅剩部分家庭尚未實現(xiàn)小康.現(xiàn)從這些尚未實現(xiàn)小康的家庭中隨機抽取50戶,得到這50戶家庭2018年的家庭人均年純收入的頻率分布直方圖.

1)補全頻率分布直方圖,并求出這50戶家庭人均年純收入的中位數(shù)和平均數(shù)(精確到元);

220197月,為估計該地能否在2020年全面實現(xiàn)小康,統(tǒng)計了該地當時最貧困的一個家庭201916月的人均月純收入如表:

月份/2019(時間代碼)

1

2

3

4

5

6

人居月純收入 ()

275

365

415

450

470

485

由散點圖及相關性分析發(fā)現(xiàn):家庭人均月純收入與時間代碼之間具有較強的線性相關關系,請求出回歸直線方程;并由此估計該家庭20201月的家庭人均月純收入.

可能用到的數(shù)據(jù):

參考公式:線性回歸方程中,.

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【題目】如圖,GH是東西方向的公路北側的邊緣線,某公司準備在GH上的一點B的正北方向的A處建設一倉庫,設,并在公路北側建造邊長為的正方形無頂中轉站CDEF(其中EF在GH上),現(xiàn)從倉庫A向GH和中轉站分別修兩條道路AB,AC,已知AB=AC+1,且.

(1)求關于的函數(shù)解析式,并求出定義域;

(2)如果中轉站四堵圍墻造價為10萬元/km,兩條道路造價為30萬元/km,問:取何值時,該公司建設中轉站圍墻和兩條道路總造價M最低.

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【題目】某電力公司在工程招標中是根據(jù)技術、商務、報價三項評分標準進行綜合評分的,按照綜合得分的高低進行綜合排序,綜合排序高者中標。分值權重表如下:

總分

技術

商務

報價

100%

50%

10%

40%

技術標、商務標基本都是由公司的技術、資質、資信等實力來決定的。報價表則相對靈活,報價標的評分方法是:基準價的基準分是68分,若報價每高于基準價1%,則在基準分的基礎上扣0.8分,最低得分48分;若報價每低于基準價1%,則在基準分的基礎上加0.8分,最高得分為80分。若報價低于基準價15%以上(不含15%)每再低1%,在80分在基礎上扣0.8分。在某次招標中,若基準價為1000(萬元)。甲、乙兩公司綜合得分如下表:

公司

技術

商務

報價

80分

90分

70分

100分

甲公司報價為1100(萬元),乙公司的報價為800(萬元)則甲,乙公司的綜合得分,分別是

A. 7375.4 B. 73,80 C. 74.6,76 D. 74.6 ,75.4

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【題目】已知橢圓,三點中恰有二點在橢圓上,且離心率為

(1)求橢圓的方程;

(2)設為橢圓上任一點, 為橢圓的左右頂點, 中點,求證:直線與直線它們的斜率之積為定值;

(3)若橢圓的右焦點為,過的直線與橢圓交于,求證:直線與直線斜率之和為定值。

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【題目】0,12,34這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的自然數(shù).

(Ⅰ)在組成的三位數(shù)中,求所有偶數(shù)的個數(shù);

(Ⅱ)在組成的三位數(shù)中,如果十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字都小,則稱這個數(shù)為“凹數(shù)”,如301423等都是“凹數(shù)”,試求“凹數(shù)”的個數(shù);

(Ⅲ)在組成的五位數(shù)中,求恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的自然數(shù)的個數(shù).

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