Question

如圖是將邊長為2，有一內(nèi)角為60°的菱形ABCD沿較短對(duì)角線BD折成四面體ABCD，點(diǎn)E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是

 

．（將正確的命題序號(hào)全填上）．
①EF∥AB；
②當(dāng)二面角A-BD-C的大小為60°時(shí)，AC=2；
③當(dāng)四面體ABCD的體積最大時(shí)，AC=

6

；
④AC垂直于截面BDE．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的性質(zhì),二面角的平面角及求法

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：①取AD的中點(diǎn)P，易知PF∥AB，利用反證法可知EF不與AB平行；
②依題意知，△AFC為邊長為

3

的等邊三角形，從而可知②的正誤；
③經(jīng)分析知，當(dāng)平面ABC⊥平面BCD時(shí)，四面體ABCD的體積最大，此時(shí)△AFC為邊長為

3

的等腰直角三角形，從而可求其斜邊AC的長；
④利用線面垂直的判定定理，可證得AC垂直于截面BDE，從而可知④之正誤．

解答： 解：依題意，作圖如下：

①，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，取AD的中點(diǎn)P，易知PF∥AB，若EF∥AB，則EF∥PF，與二者相交矛盾，故EF不與AB平行，①錯(cuò)誤；
②，△ABD與△BCD均為邊長為2的等邊三角形，連接AF，CF，則AF⊥BD，CF⊥BD，∠AFC就是二面角A-BD-C的平面角，
若∠AFC=60°，則△AFC為等邊三角形，AC=AF=ABsin60°=2×

3

2

=

3

，故②錯(cuò)誤；
③，當(dāng)四面體ABCD以平面BCD為底面，高最大時(shí)，
該四面體ABCD的體積最大，此時(shí)平面ABC⊥平面BCD，AF就是其高，其值為

3

，
又此時(shí)△AFC為邊長為

3

的等腰直角三角形，故AC=

2

•

3

=

6

，故③正確；
④，∵AF=FC，△AFC為等腰三角形，E為AC的中點(diǎn)，
∴AC⊥EF，又AC⊥BD，EF∩BD=F，
∴AC垂直于截面BDE，即④正確；
綜上所述，命題中正確的是：③④．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查二面角的平面角及其應(yīng)用，考查作圖、分析與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．