Question

16．如圖，△CDE所在的平面與正方形ABCD所在的平面相交于CD，且AE⊥平面ABCD，AB=2AE=2．
（1）求證：平面ABCD⊥平面ADE
（2）設(shè)點(diǎn)F是棱BC的中點(diǎn)，求直線DF與平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ABCD⊥平面ADE；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面CDE的法向量，利用向量法結(jié)合線面角的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）證明：∵AE⊥平面ABCD，AE?平面平面ADE；
∴平面ABCD⊥平面ADE
（2）建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB，AE分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
∵AB=2AE=2，
∴AE=1，
∵點(diǎn)F是棱BC的中點(diǎn)
∴A（0，0，0），D（2，0，0），B（0，2，0），E（0，0，1），
F（1，2，0），C（2，2，0），
則$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（-2，0，1），
設(shè)平面CDF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DC}$=2y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{DE}$=-2x+z=0，
令x=1，則z=2，y=0，
則$\overrightarrow{m}$=（1，0，2），
$\overrightarrow{DF}$=（-1，2，0），
設(shè)直線DF與平面CDE所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{DF}$，$\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{-1}{\sqrt{1+4}•\sqrt{1+4}}$=$\frac{1}{5}$，
即直線DF與平面CDE所成角的正弦值是$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查面面垂直的判斷以及線面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決空間角常用的方法．