Question

（2007•河北區(qū)一模）三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直且PA=2

2

，PB=4，PC=2

3

，如果三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，那么這個(gè)球的球心到直線PB的距離為（　　）

• A．

  5

• B．5
• C．

  7

• D．

  3

Answer 1

分析：根據(jù)題意，以PA、PB、PC為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，作長(zhǎng)方體PABD-CEFG，連結(jié)BE、PE．可得三棱錐P-ABC的外接球就是長(zhǎng)方體PABD-CEFG的外接球，球心是長(zhǎng)方體的對(duì)角線的中點(diǎn)．O為BE中點(diǎn)，0₁為BP的中點(diǎn)，連結(jié)OO₁，利用三角形中位線定理和勾股定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出OO₁長(zhǎng)，即可得到球心到直線PB的距離．

解答：解：以PA、PB、PC為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，作長(zhǎng)方體PABD-CEFG
如圖所示，連結(jié)BE、PE
∵三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，
∴長(zhǎng)方體PABD-CEFG的外接球與三棱錐P-ABC的外接球是同一個(gè)球
可得球心為長(zhǎng)方體對(duì)角線BE的中點(diǎn)，
設(shè)O為BE中點(diǎn)，0₁為BP的中點(diǎn)，連結(jié)OO₁
則O為三棱錐P-ABC的外接球心，
根據(jù)球的性質(zhì)，可得OO₁⊥PB，OO₁長(zhǎng)就是球心到直線PB的距離
∵△PBE中，OO₁是中位線
∴OO₁=

1

2

PE=

1

2

AC=

1

2

PA2+PC2

=

1

2

8+12

=

5

由此可得球心到直線PB的距離等于

5

故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出三棱錐的外接球，求它的外接球心到直線PB的距離．著重考查了球的性質(zhì)、長(zhǎng)方體的外接球、三角形中位線定理和勾股定理等知識(shí)，屬于中檔．