精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinπx+
1
2
cosπx
,x∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值;
(Ⅱ)如圖,函數(shù)f(x)在[-1,1]上的圖象與x軸的交點(diǎn)從左到右分別為M、N,圖象的最高點(diǎn)為P,求
PM
PN
的夾角的余弦.
分析:(Ⅰ)利用兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式,然后求函數(shù)f(x)的最大值和最小值;
(Ⅱ)解法一:通過(guò)函數(shù)為0,求出M,N的坐標(biāo),確定P的位置,求出
PM
PN
,求出
PM
PN
的夾角的余弦.
      解法二:過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸于A,則|PA|=1,求出|PM|,|PN|在三角形中利用余弦定理求出
PM
PN
的夾角的余弦.
      解法三:過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸于A,則|PA|=1,在Rt△PAM中,求出cos∠MPA=
|PA|
|PM|
,通過(guò)二倍角公式求出
PM
PN
的夾角的余弦.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)∵f(x)=
3
2
sinπx+
1
2
cosπx

=sin(πx+
π
6
)
(2分)
∵x∈R∴-1≤sin(πx+
π
6
)≤1

∴函數(shù)f(x)的最大值和最小值分別為1,-1.(4分)
(Ⅱ)解法1:令f(x)=sin(πx+
π
6
)=0
πx+
π
6
=kπ,k∈Z

∵x∈[-1,1]∴x=-
1
6
x=
5
6
M(-
1
6
,0),N(
5
6
,0)
,(6分)
sin(πx+
π
6
)=1
,且x∈[-1,1]得x=
1
3
P(
1
3
,1)
,(8分)
PM
=(-
1
2
,-1),
PN
=(
1
2
,-1)
,(10分)
cos<
PM
,
PN
>=
PM
PN
|
PM
|•|
PN
|
=
3
5
.(12分)
解法2:過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸于A,則|PA|=1,
由三角函數(shù)的性質(zhì)知|MN|=
1
2
T=1
,(6分)|PM|=|PN|=
12+(
1
2
)
2
=
5
2
,(8分)
由余弦定理得cos<
PM
,
PN
>=
|PM|2+|PN|2-|MN|2
2|PM|•|PN|
(10分)
=
5
4
×2-1
5
4
=
3
5
.(12分)
解法3:過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸于A,則|PA|=1,
由三角函數(shù)的性質(zhì)知|MN|=
1
2
T=1
,(6分)|PM|=|PN|=
12+(
1
2
)
2
=
5
2
(8分)
在Rt△PAM中,cos∠MPA=
|PA|
|PM|
=
1
5
2
=
2
5
5
(10分)
∵PA平分∠MPN∴cos∠MPN=cos2∠MPA=2cos2∠MPA-1=2×(
2
5
5
)2-1=
3
5
.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值,向量的夾角的求法,可以通過(guò)向量的數(shù)量積解決,也可以通過(guò)三角形解決,考查計(jì)算能力,?碱}型.
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已知函數(shù)f(x)=
(3-a)x-3 (x≤7)
ax-6??? (x>7)
,數(shù)列an滿足an=f(n)(n∈N*),且an是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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π
2
)cosωx(0<ω≤2)
的圖象過(guò)點(diǎn)(
π
16
,2+
2
)

(Ⅰ)求ω的值及使f(x)取得最小值的x的集合;
(Ⅱ)該函數(shù)的圖象可由函數(shù)y=
2
sin4x(x∈R)
的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得出?

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1x
|,x∈(0,+∞)

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π
3
)=sinx,則f(π)
等于( 。

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