Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且異面直線A₁B與B₁C₁所成的角等于60°，設AA₁=a．
（1）求a的值；
（2）求直線B₁C₁到平面A₁BC的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：∠A₁BC就是異面直線A₁B與B₁C₁所成的角，即∠A₁BC=60°，根據(jù)線段的長度關系可得：△A₁BC為等邊三角形，即可得到BC=

2

，進而達到a=1．
（2）由B₁C₁∥平面A₁BC，得點D到平面A₁BC的距離等于點B₁到平面A₁BC的距離．再根據(jù)VB1-A1BC=VC- A1B1B求B₁到平面A₁BC的距離，分別求出兩個三角形的面積即可達到答案．

解答：解：（1）∵BC∥B₁C₁，
∴∠A₁BC就是異面直線A₁B與B₁C₁所成的角，
即∠A₁BC=60°，…（2分）
又連接A₁C，AB=AC，
則A₁B=A₁C，
∴△A₁BC為等邊三角形，…（4分）
由AB=AC=1，∠BAC=90°
∴BC=

2

，
∴A1B=

2

⇒

1+a2

=

2

⇒a=1．…（6分）
（2）易知B₁C₁∥平面A₁BC，此時有B₁C₁上的任意一點到平面A₁BC的距離等于點B₁到平面A₁BC的距離．…（8分）
設其為d，連接B₁C，
由VB1-A1BC=VC- A1B1B求d，
又∵CA⊥A₁A，CA⊥AB，
∴CA⊥平面A₁B₁C，并且AC=1，．
因為△A₁B₁B的面積S=

1

2

，并且△A₁BC的面積S′=

3

4

•(

2

)2=

3

2

，…（10分）
所以

1

3

•S•AC=

1

3

•S′•d即d=

3

3

，
所以B₁C₁到平面A₁BC的距離等于

3

3

．…（12分）

點評：本題主要考查空間中的直線與平面的位置關系，以及空間中點、線、面間的距離計算，此題屬于中檔題型．