已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1>0,公比q>0,前n項(xiàng)和為Sn
(Ⅰ)試比較
S3
a3
S5
a5
的大小;
(Ⅱ)設(shè){an}滿足:lga1+
lga2
2
+
lga3
3
+…+
lgan
n
=n(n∈N*)
,數(shù)列{bn}滿足:bn=
1
n
(lga1+lga2+…+lgan+lgk)
,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式和使數(shù)列{bn}成等差數(shù)列的正數(shù)k的值.
分析:(Ⅰ)對(duì)公比q的值進(jìn)行分類討論:①當(dāng)q=1時(shí),
S3
a3
=3
S5
a5
=5
,②當(dāng)q>0且q≠1時(shí),結(jié)合作差法比較大小即可得到:
S3
a3
S5
a5
;
(Ⅱ)先就n的值討論:當(dāng)n=1時(shí);當(dāng)n≥2時(shí),兩式相減,從而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,再計(jì)算出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式,要使{bn}成等差數(shù)列,bn+1-bn=
1
2
+(
1
n+1
-
1
n
)lgk
為常數(shù)從而求出k值.
解答:解:(Ⅰ)①當(dāng)q=1時(shí),
S3
a3
=3
,
S5
a5
=5

S3
a3
S5
a5

②當(dāng)q>0且q≠1時(shí),
S3
a3
-
S5
a5
=
q2(1-q3)-(1-q5)
q4(1-q)
=
-1-q
q4
<0
,
此時(shí)也有
S3
a3
S5
a5

 綜上可知:
S3
a3
S5
a5
.                             …(4分)
(Ⅱ)當(dāng)n=1時(shí),lga1=1⇒a1=10.lga1+
lga2
2
+
lga3
3
+…+
lgan
n
=n
,①
∴當(dāng)n≥2時(shí),lga1+
lga2
2
+
lga3
3
+…+
lgan-1
n-1
=n-1
,②
將①-②得:
lgan
n
=1

∴l(xiāng)gan=n,∴an=10n
綜上可知:對(duì)n∈N*,an=10n.                 …(8分)
bn=
1
n
lgk(a1a2an)=
1
n
lgk(10•102…10n)=
1
n
lg[k•10
n(n+1)
2
]=
1
n
lgk+
n+1
2

要使{bn}成等差數(shù)列,則bn+1-bn=
1
2
+(
1
n+1
-
1
n
)lgk
為常數(shù),…(10分)
故只須lgk=0,即k=1.                      …(12分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查等差關(guān)系的確定、數(shù)列的求和、數(shù)列與不等式的綜合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
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(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
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1bnbn+1
}的前n項(xiàng)和Sn

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3
3

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(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列{|bn|}的前n項(xiàng)和Tn

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12
,則n=
9
9

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