Question

（文科）數列{ a_n }中，a₁=t，a₂=t²，（t≠1）．x=

t

是函數f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個極值點．
（1）證明數列[a_n-1-a_n]是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）記bn=2（1-

1

an

），當t=2時，數列{bn}的前n項和為S_n，求使S_n＞2010的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據函數在 x=

t

的導數等于零尋找a_n+1，a_n，a_n-1之間的關系，然后根據等比數列的定義進行證明；在此基礎上求出數列a_n+1-a_n的通項公式，按照迭加的方法即可求出a_n．
（2）求出數列{b_n}的前n項和S_n是解決本題的關鍵，根據已知條件確定出關于n的不等式，通過解不等式求出正整數n的最小值；

解答：解析：（1）f’（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]（n≥2）
由題可知f’（

t

）=0即3a_n-1（

t

）²-3[（t+1）a_n-a_n+1]=0 （n≥2）
∴a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1 ） （n≥2）
∵t＞0且t≠1，a₂-a₁=t（t-1）≠0
∴數列{ a_n+1-a_n }=（t²-t）t^n-1=（t-1）tⁿ
∴a₂-a₁=（t-1）t，a₃-a₂=（t-1）t²，…a_n-a_n-1=（t-1）t^n-1
以上各式兩別分別相加得a_n-a₁=（t-1）（t+t²+…+t^n-1）
∴a_n=tⁿ（n≥2）
當n=1時成立∴a_n=tⁿ
當n=2時成立∴b_n=2-

1

2n-1

，
∴S_n=2n-（ 1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）=2n-

1-\f(1

2n

，1-

1

2

)
=2n-2（ 1-

1

2n

）=2n-2+

2

2n

又S_n+1-S_n=2-

1

2n

＞0，所以數列{S_n}是遞增數列
S_n＞2010，得2n-2+2（

1

2

）ⁿ＞2010，n+（

1

2

）ⁿ＞1006
當n≤1005時，n+（

1

2

）ⁿ＜1006
當n≥1006時，n+（

1

2

）ⁿ＞1006
因此當S_n＞2010時，n的最小值為1006．

點評：本題屬于函數、數列、不等式的綜合問題，首先通過數列與函數的聯系，得出數列某些項之間的關系，然后利用數列的知識實現求通項和求前n項和的計算，考查分析法證明不等式的思想和意識．