Question

16．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+ϕ），ω＞0，0≤ϕ≤π是R上的偶函數(shù)，且最小正周期為π
（1）求f（x）的解析式；
（2）用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)f（x）的一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
（3）求g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）的對(duì)稱軸及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)得出φ的值，再根據(jù)f（x）的最小正周期求出ω的值即可；
（2）通過列表、描點(diǎn)、連線，即可畫出函數(shù)f（x）一個(gè)周期內(nèi)的圖象；
（3）求出g（x）的解析式，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出g（x）圖象的對(duì)稱軸與單調(diào)增區(qū)間即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ），ω＞0，0≤φ≤π是R上的偶函數(shù)，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
又f（x）的最小正周期為π，∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2；
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x；
（2）列表如下：

2x	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	0	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{4}$	π
f（x）	2	0	-2	0	2

用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)f（x）=2cos2x的一個(gè)周期內(nèi)的圖象，如圖所示；

（3）g（x）=f（x+$\frac{π}{6}$）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z；
∴函數(shù)g（x）圖象的對(duì)稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z；
令-π+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{2π}{3}$+kπ≤x≤-$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{2π}{3}$+kπ，-$\frac{π}{6}$+kπ]，（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了“五點(diǎn)法”畫圖問題，是綜合性題目．