【題目】已知函數(shù)f(x)=2|x+1|+|x-2|.
(1)求f(x)的最小值m;
(2)若a,b,c均為正實數(shù),且滿足a+b+c=m,求證:++≥3.
【答案】(1)m=3 (2)證明見解析
【解析】
(1)分段討論當(dāng)x<-1時,當(dāng)-1≤x<2時,當(dāng)x≥2時,函數(shù)f(x)的值域,然后求函數(shù)在定義域上的值域即可;
(2)由已知條件a+b+c=3,再結(jié)合重要不等式證明即可.
解:(1)當(dāng)x<-1時,f(x)=-2(x+1)-(x-2)=-3x∈(3,+∞);
當(dāng)-1≤x<2時,f(x)=2(x+1)-(x-2)=x+4∈[3,6);
當(dāng)x≥2時,f(x)=2(x+1)+(x-2)=3x∈[6,+∞).
即,
綜上,f(x)的最小值m=3.
(2)證明:因為a,b,c均為正實數(shù),且滿足a+b+c=3,
所以+++(a+b+c)
=++
≥2
=2(a+b+c),
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時,取“=”,
所以++≥a+b+c,
又a+b+c=3,
即++≥3.
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【題目】“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀(jì)海上絲綢之路”的簡稱,旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟合作關(guān)系,共同打造政治互信、經(jīng)濟融合、文化包容的命運共同體.自2013年以來,“一帶一路”建設(shè)成果顯著下圖是2013-2017年,我國對“一帶一路”沿線國家進(jìn)出口情況統(tǒng)計圖,下列描述正確的是( ).
A.這五年,2013年出口額最少
B.這五年,出口總額比進(jìn)口總額多
C.這五年,出口增速前四年逐年下降
D.這五年,2017年進(jìn)口增速最快
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線與軸交于兩點.以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求直線的普通方程及曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線與曲線在第一象限交于點,且線段的中點為,點在曲線上,求的最小值.
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【題目】田忌賽馬是《史記》中記載的一個故事,說的是齊國大將軍田忌經(jīng)常與齊國眾公子賽馬,孫臏發(fā)現(xiàn)田忌的馬和其他人的馬相差并不遠(yuǎn),都分為上、中、下三等.于是孫臏給田忌將軍獻(xiàn)策:比賽即將開始時,他讓田忌用下等馬對戰(zhàn)公子們的上等馬,用上等馬對戰(zhàn)公子們的中等馬,用中等馬對戰(zhàn)公子們的下等馬,從而使田忌贏得了許多賭注.假設(shè)田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進(jìn)行一場比賽,田忌獲勝的概率如下表所示:
比賽規(guī)則規(guī)定:一次比賽由三場賽馬組成,每場由公子和田忌各出一匹馬參賽,結(jié)果只有勝和負(fù)兩種,并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同,三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者.
(1)如果按孫臏的策略比賽一次,求田忌獲勝的概率;
(2)如果比賽約定,只能同等級馬對戰(zhàn),每次比賽賭注1000金,即勝利者贏得對方1000金,每月比賽一次,求田忌一年賽馬獲利的數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知在四棱錐中,底面是邊長為的正方形,是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AD 的中點.
(Ⅰ)求證:PO平面;
(Ⅱ)求平面EFG與平面所成銳二面角的大;
(Ⅲ)線段上是否存在點,使得直線與平面所成角為,若存在,求線段的長度;若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的零點,以及曲線在其零點處的切線方程;
(2)若方程有兩個實數(shù)根,求證:.
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【題目】某電信運營公司為響應(yīng)國家5G網(wǎng)絡(luò)建設(shè)政策,擬實行5G網(wǎng)絡(luò)流量階梯定價.每人月用流量中不超過(一種流量計算單位)的部分按2元收費;超出的部分按4元收費.從用戶群中隨機調(diào)查了10000位用戶,獲得了他們某月的流量使用數(shù)據(jù).整理得到如下的頻率分布直方圖:
(1)若為整數(shù),依據(jù)本次調(diào)查,為使80以上用戶在該月的流量價格為2元,至少定為多少?
(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替,當(dāng)時,試估計用戶該月的人均流量費.
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【題目】已知拋物線,直線與拋物線交于,兩點,分別過,作拋物線的切線,兩切線交于點.
(1)若直線變動時,點始終在以為直徑的圓上,求動點的軌跡方程;
(2)設(shè)圓,若直線與圓相切于點(點在線段上).是否存在點使得?若存在,求出點坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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