Question

12．己知$\overrightarrow{a}$=（sinx，cos²x-sin²x），$\overrightarrow$=（cosx，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，然后根據(jù)二倍角的正余弦公式及兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡，便可求出f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），由正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可得出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)x$∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$便可求出$2x+\frac{π}{3}$的范圍，這樣由正弦函數(shù)的圖象即可得出f（x）的最大、最小值，從而得出f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$的值域．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
=$sinxcosx+\frac{\sqrt{3}}{2}（co{s}^{2}x-si{n}^{2}x）$
=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$
=$sin（2x+\frac{π}{3}）$；
解$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$得：
$-\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{π}{12}+kπ，k∈Z$；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ]，k∈Z$；
（2）∵$x∈[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$；
∴$2x+\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$；
∴$2x+\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}$時，f（x）取最小值$-\frac{1}{2}$$，2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$時，f（x）取最大值1；
∴f（x）在$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上的值域為$[-\frac{1}{2}，1]$．

點(diǎn)評 考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角的正余弦公式，以及兩角和的正弦公式，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及增函數(shù)的定義，不等式的性質(zhì)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象求正弦函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法．