Question

13．在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF∥DB．
（1）已知AB=BC，AF=CF，求證：AC⊥平面BEF；
（2）已知G、H分別是EC和FB的中點(diǎn)，求證：GH∥平面ABC．

Answer 1

分析 （1）如圖連結(jié)DF，證明DF⊥AC，BD⊥AC．推出AC⊥平面BDEF，即可證明AC⊥平面BEF．
（2）設(shè)FC的中點(diǎn)為I，連接GI，HI．證明GI∥EF．GI∥DB．證明HI∥BC．即可證明GHI∥平面ABC．然后證明GH∥平面ABC．

解答 證明：（1）∵EF∥DB，∴EF與DB確定平面BDEF．
如圖①，連結(jié)DF．∵AF=CF，D是AC的中點(diǎn)，∴DF⊥AC．同理可得BD⊥AC．
又BD∩DF=D，BD、DF?平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，即AC⊥平面BEF．
（2）如圖②，設(shè)FC的中點(diǎn)為I，連接GI，HI．
在△CEF中，∵G分別是EC的中點(diǎn)，∴GI∥EF．
又EF∥DB，∴GI∥DB．
在△CFB中，∵H分別是FB的中點(diǎn)，∴HI∥BC．
又HI∩GI=I，∴平面GHI∥平面ABC．
∵GH?平面GHI，∴GH∥平面ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力．