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12.已知函數(shù)f(x)=ex+ln(x+1).
(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)x≥0時,f(x)≥ax+1成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)由題意f(0)=1,fx=ex+1x+1,由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程.
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax-1,則gx=fxa=ex+1x+1a,令hx=ex+1x+1,則hx=ex1x+12,由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解答 解:(Ⅰ)f(0)=e0+ln(0+1)=1,
fx=ex+1x+1,f0=e0+10+1=2
∴y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為:y-1=2(x-0),即y=2x+1.…(5分)
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax-1,
gx=fxa=ex+1x+1a
hx=ex+1x+1,則hx=ex1x+12,
當(dāng)x≥0時,ex>1,01x+121,∴h'(x)>0,
∴函數(shù)y=h(x)(x≥0)為增函數(shù),∴h(x)≥h(0)=2,∴g'(x)≥2-a
ī)當(dāng)a≤2時,2-a≥0,∴當(dāng)a≤2時,g'(x)≥0
∴函數(shù)y=g(x)(x≥0)為增函數(shù),∴g(x)≥g(0)=0
故對?x≥0,f(x)≥ax+1成立.
īī)當(dāng)a>2時,a-1>1,由x≥0時01x+11gx=fxa=ex+1x+1aex+1a
當(dāng)x∈(0,ln(a-1))知ex+1-a<0,即g'(x)<0,
∴函數(shù)y=g(x),x∈(0,ln(a-1))為減函數(shù),
∴當(dāng)0<x<ln(a-1)時,g(x)<g(0)=0
從而f(x)<ax+1這與題意不符,
綜上,對?x≥0,f(x)≥ax+1成立時,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].…(12分)

點(diǎn)評 本題考查切線方程的求法,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊系列答案
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