分析 (Ⅰ)由題意f(0)=1,f′(x)=ex+1x+1,由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程.
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax-1,則g′(x)=f′(x)−a=ex+1x+1−a,令h(x)=ex+1x+1,則h′(x)=ex−1(x+1)2,由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答 解:(Ⅰ)f(0)=e0+ln(0+1)=1,
f′(x)=ex+1x+1,f′(0)=e0+10+1=2
∴y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為:y-1=2(x-0),即y=2x+1.…(5分)
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-ax-1,
則g′(x)=f′(x)−a=ex+1x+1−a
令h(x)=ex+1x+1,則h′(x)=ex−1(x+1)2,
當(dāng)x≥0時,ex>1,0<1(x+1)2≤1,∴h'(x)>0,
∴函數(shù)y=h(x)(x≥0)為增函數(shù),∴h(x)≥h(0)=2,∴g'(x)≥2-a
ī)當(dāng)a≤2時,2-a≥0,∴當(dāng)a≤2時,g'(x)≥0
∴函數(shù)y=g(x)(x≥0)為增函數(shù),∴g(x)≥g(0)=0
故對?x≥0,f(x)≥ax+1成立.
īī)當(dāng)a>2時,a-1>1,由x≥0時0<1x+1≤1g′(x)=f′(x)−a=ex+1x+1−a<ex+1−a,
當(dāng)x∈(0,ln(a-1))知ex+1-a<0,即g'(x)<0,
∴函數(shù)y=g(x),x∈(0,ln(a-1))為減函數(shù),
∴當(dāng)0<x<ln(a-1)時,g(x)<g(0)=0
從而f(x)<ax+1這與題意不符,
綜上,對?x≥0,f(x)≥ax+1成立時,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,2].…(12分)
點(diǎn)評 本題考查切線方程的求法,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | cosx | B. | -cosx | C. | sinx | D. | -sinx |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 命題“若x=1,則x2+x-2=0”的否命題是假命題 | |
B. | 空間任意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A,B,C,若→OP=2→OA-2→OB-→OC,則P,A,B,C四點(diǎn)共面 | |
C. | 命題“若x2-3x+2=0,則x=1”的逆否命題為“若x≠1,則x2-3x+2≠0” | |
D. | 過點(diǎn)(0,2)與拋物線y2=8x只有一個公共點(diǎn)的直線有3條 |
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