Question

【題目】設函數(shù).

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當時，若函數(shù)與函數(shù)的圖像總有兩個交點，設兩個交點的橫坐標分別為，.

①求的取值范圍；

②求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.

（Ⅱ）①，②見解析

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合題中所給的的條件，令導數(shù)大于零和導數(shù)小于零，分別求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；

（Ⅱ）函數(shù)與函數(shù)的圖像總有兩個交點，等價于函數(shù) 有兩個零點，對函數(shù)求導，研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得參數(shù)m的范圍，之后根據(jù)兩個零點的條件，以及函數(shù)圖象的特點，證得結(jié)果.

（Ⅰ）由已知得，，

由，，令得：，

令得，

所以，當時，單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是.

（Ⅱ）令 ，

∴，

①解法一：由得，；由得，易知，為的極大值點.

，

當時，；當時，.

由題意，只需滿足，

∴的取值范圍是：.

解法二：，

由得，；由得，易知，為極大值點.

而在時取得極小值，

由題意，只需滿足，解得.

②由題意知，，為函數(shù) 的兩個零點，由①知，不妨設，則，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，

欲證，只需證明，而，

所以，只需證明.

令，則

∴

∵，∴，即

所以，，即在上為增函數(shù)，所以，，

∴成立，所以，.