Question

5．設$\overrightarrow a=\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$，其中$\overrightarrow{e_1}⊥\overrightarrow{e_2}$且${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$=${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=1
（1）計算$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的值；
（2）當k為何值時，$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$互相垂直？

Answer 1

分析 （1）根據向量模長的公式進行計算即可，
（2）根據向量垂直轉化為向量數量積公式進行求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}，\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∵$\overrightarrow{e_1}⊥\overrightarrow{e_2}$且${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$=${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=1
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0，
則$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$²=（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）²=4${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+16${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=4+16=20，
則$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=2$\sqrt{5}$；
（2）若$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$互相垂直，
則（$k\overrightarrow a+\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a-3\overrightarrow b$）=0，
即（k$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2k$\overrightarrow{{e}_{2}}$-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$-3（-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$））=0
即（（k-3）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（2k+2）$\overrightarrow{{e}_{2}}$）•（10$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=0
即10（k-3）${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$-4（2k+2）${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=0，
即10（k-3）-4（2k+2）=0，
得2k=38，
在k=19．

點評 本題主要考查向量數量積的應用，根據向量模長公式以及向量垂直與向量數量積的關系是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．