Question

12．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線截圓M：（x-1）²+y²=1所得弦長為$\sqrt{3}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 求得圓的圓心和半徑，雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，運用弦長公式可得c=2b，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：圓M：（x-1）²+y²=1的圓心為（1，0），半徑為1，
雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
即有圓心到漸近線的距離d=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{c}$，
由弦長公式可得2$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{c}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
化為c=2b，由c²=a²+b²，
可得c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，即e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的連線的求法，注意運用漸近線方程和點到直線的距離公式，考查圓的弦長公式的運用，以及運算能力，屬于中檔題．