(2012•上高縣模擬)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c;則下列命題正確的是
①②⑤
①②⑤

①若ab>c2;則C<
π
3
;②若a+b>2c;則C<
π
3
;③若(a2+b2)c2<2a2b2;則C>
π
3
;
④若(a+b)c<2ab;則C>
π
2
;⑤若a3+b3=c3;則C<
π
2
分析:①利用余弦定理,將c2放大為ab,再結(jié)合均值定理即可證明cosC>
1
2
,從而證明C<
π
3
;②利用余弦定理,將c2放大為(
a+b
2
2,再結(jié)合均值定理即可證明cosC>
1
2
,從而證明C<
π
3
;③④只需舉反例即可證明其為假命題,可舉符合條件的等邊三角形;⑤利用反證法,假設(shè)C≥
π
2
時(shí),推出與題設(shè)矛盾,即可證明此命題正確.
解答:解:①ab>c2⇒cosC=
a2+b2-c2
2ab
2ab-ab
2ab
=
1
2
⇒C<
π
3
,故①正確;
②a+b>2c⇒cosC═
a2+b2-c2
2ab
4(a2+b2)-(a+b)2
8ab
8ab-4ab
8ab
=
1
2
⇒C<
π
3
,故②正確;
③取a=b=
2
,c=1,滿足(a2+b2)c2<2a2b2,此時(shí)有C<
π
3
,故③錯(cuò)誤;
④取a=b=2,c=1,滿足(a+b)c<2ab得:C<
π
3
π
2
,故④錯(cuò)誤;
⑤當(dāng)C≥
π
2
時(shí),c2≥a2+b2⇒c3≥ca2+cb2>a3+b3與a3+b3=c3矛盾,故⑤正確;
故答案為:①②⑤
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了解三角形的知識(shí),放縮法證明不等式的技巧,反證法和舉反例法證明不等式,有一定的難度,屬中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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10i
3-i
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-3
-3

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(2012•上高縣模擬)如圖,橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn)F2與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,過F2作與x軸垂直的直線l與橢圓交于S,T,而與拋物線交于C,D兩點(diǎn),且
|CD|
|ST|
=2
2

(1)求橢圓E的方程;
(2)若過m(2,0)的直線與橢圓E相交于兩點(diǎn)A和B,設(shè)P為橢圓E上一點(diǎn),且滿足
OA
+
OB
=t
OP
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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