Question

【題目】如圖所示，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為CD的中點(diǎn)．

（1）求證：B1E⊥AD1
（2）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：（以A為原點(diǎn)， ， ， 的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)AB=a，則A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E（ ，1，0），B1（a，0，1），

=（a，0，1）， =（ ，1，0）， =（0，1，1）， =（﹣ ，1，﹣1）

∵ =﹣ ×0+1×1+（﹣1）×1=0，

∴B1E⊥AD1．

（2）解：連結(jié)A1D，B1C，由長方體ABCDA1B1C1D1及AA1=AD=1，得AD1⊥A1D．

∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C．

又由（1）知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E=B1，

∴AD1⊥平面DCB1A1，

∴ =（0，1，1）是平面A1B1E的一個(gè)法向量，

設(shè)平面AB1E的法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，﹣ ，﹣a），

∵二面角AB1EA1的大小為30°，

∴|cos＜ ＞|=cos 30°，即 = = ，

解得a=2，即AB的長為2．

【解析】（1）以A為原點(diǎn)， ， ， 的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明B1E⊥AD1 ． （2）求出平面A1B1E的一個(gè)法向量和平面AB1E的法向量，由二面角A﹣B1E﹣A1的大小為30°，利用向量法能求出AB的長