Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點F，點A是兩曲線的一個交點，且AF⊥x軸，若l為雙曲線的一條斜率大于

2

的漸近線，則l的斜率的取值范圍是

{k|k=

2+2 2

}

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線與雙曲線有相同的焦點，得雙曲線焦點為F（

p

2

，0）．如圖，因為AF⊥x軸，點A（

p

2

，y₀）既在拋物線上又在雙曲線上，所以由拋物線方程和雙曲線方程組成方程組，聯(lián)解得

b

a

=

2+2 2

，從而得到雙曲線的斜率大于

2

的漸近線l方程為y=

2+2 2

x，由此即得l的斜率的取值范圍．

解答：解：∵拋物線y²=2px的焦點為（

p

2

，0），拋物線與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1有相同的焦點F，
∴雙曲線焦點是F（

p

2

，0），可得c=

p

2

∵點A是兩曲線的一個交點，且AF⊥x軸，
∴可設點A（

p

2

，y₀），根據(jù)點A既在拋物線上又在雙曲線上，
可得

y02=2p× p 2 ( p 2 )2 a2 - y02 b2 =1

，

p2

4a2

-

p2

b2

=1…（*）
∵c=

p

2

，得p=2c
∴代入（*）得：

4c2

4a2

-

4c2

b2

=1，
將c²=a²+b²代入，可得

b2

a2

-

4a2

b2

-4=0，解之得

b

a

=

2+2 2

∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的漸近線方程為：y=±

b

a

x
∴雙曲線的斜率大于

2

的漸近線l方程為y=

b

a

x=

2+2 2

x
所以l的斜率的值為k=

2+2 2

故答案為：{k|k=

2+2 2

}

點評：本題給出拋物線與雙曲線有共同的焦點，并且它們的交點在x軸上的射影恰好是焦點F，求雙曲線漸近線的斜率，著重考查了雙曲線與拋物線的標準方程和簡單性質(zhì)，屬于中檔題．