解答:解:當(dāng)0<x≤1時,有-1<x-1<0,則f(x)=f(x-1)+1=2
x-1,
當(dāng)1<x≤2時,有0<x-1≤1,則f(x)=f(x-1)+1=2
x-2+1,
當(dāng)2<x≤3時,有1<x-1≤2,則f(x)=f(x-1)+1=2
x-3+2,
當(dāng)3<x≤4時,有2<x-1≤3,則f(x)=f(x-1)+1=2
x-4+3,
以此類推,當(dāng)n<x≤n+1(其中n∈N)時,則f(x)=f(x-1)+1=2
x-n-1+n,
所以,函數(shù)f(x)=2
x的圖象與直線y=x+1的交點(diǎn)為:(0,1)和(1,2),
由于指數(shù)函數(shù)f(x)=2
x為增函數(shù)且圖象下凸,故它們只有這兩個交點(diǎn).
然后:
①將函數(shù)f(x)=2
x和y=x+1的圖象同時向下平移一個單位,即得到函數(shù)f(x)=2
x-1和y=x的圖象,
取x≤0的部分,可見它們有且僅有一個交點(diǎn)(0,0).
即當(dāng)x≤0時,方程f(x)-x=0有且僅有一個根x=0.
②、僦泻瘮(shù)f(x)=2
x-1和y=x圖象-1<x≤0的部分,再同時向上和向右各平移一個單位,
即得f(x)=2
x-1和y=x在0<x≤1上的圖象,此時它們?nèi)匀恢挥幸粋交點(diǎn)(1,1).
即當(dāng)0<x≤1時,方程f(x)-x=0有且僅有一個根x=1.
③取②中函數(shù)f(x)=2
x-1和y=x在0<x≤1上的圖象,繼續(xù)按照上述步驟進(jìn)行,
即得到f(x)=2
x-2+1和y=x在1<x≤2上的圖象,此時它們?nèi)匀恢挥幸粋交點(diǎn)(2,2).
即當(dāng)1<x≤2時,方程f(x)-x=0有且僅有一個根x=2.
④以此類推,函數(shù)y=f(x)與y=x在(2,3],(3,4],…,(n,n+1]上的交點(diǎn)依次為(3,3),(4,4),…
(n+1,n+1).
即方程f(x)-x=0在(2,3],(3,4],…(n,n+1]上的根依次為3,4,…,n+1.
綜上所述方程f(x)-x=0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為:
0,1,2,3,4,…,
其通項(xiàng)公式為:a
n=n-1,前n項(xiàng)的和為 S
n=
,
∴S
10=45,
故選C.